Schwer — одно из самых многозначных прилагательных в немецком языке, область применения которого значительно шире, чем у schwierig. Schwer связано с такими понятиями, как «физический вес», «физические и интеллектуальные усилия», «эмоциональная нагрузка», «серьёзность последствий» и др.

В самом прямом смысле schwer — это просто «тяжёлый»: рюкзак, чемодан, ящик.

• Mein Rucksack ist heute schwer, denn ich habe den Laptop mitgenommen. Мой рюкзак сегодня тяжёлый, потому что я взял(а) с собой ноутбук.
• Сравните: eine schwere Arbeit (тяжёлая работа) может быть работой, которая изматывает нас физически, в то время как eine schwere Frage (сложный вопрос) требует наших интеллектуальных или душевных усилий.

Но делаем шаг в сторону, и вот schwer уже описывает болезни, травмы, несчастные случаи: всё то, что имеет серьёзный масштаб или тяжёлые последствия. Здесь оно выступает синонимом к ernst (серьёзный) и heftig (сильный, интенсивный).

• Eine schwere Krankheit — eine schwere Verletzung — ein schwerer Unfall. Тяжёлая болезнь, серьёзное ранение, серьёзная авария.
• Ein schweres Gewitter — ein schweres Unwetter — ein schwerer Sturm. Сильная гроза — сильная непогода — сильный шторм.

Когда человек cталкивается с трудностями и переживает их эмоционально, то именно schwer передаёт этот cмысловой оттенок.

• Er hatte ein schweres Leben, ein schweres Schicksal. У него была тяжёлая жизнь, тяжёлая судьба.
• Er hat schwere Jahre hinter sich. За его плечами тяжёлые годы.
• Sie nimmt diese Sache sehr schwer. Она принимает это очень близко к сердцу (schwierig тут не подойдёт, т.к. это устойчивое выражение).

Отдельного внимания заслуживает schwer в контексте еды: так описывают пищу, которая плохо усваивается и лежит комом в желудке.

• Das Abendessen war zu schwer. Ужин был слишком тяжёлым.

И наконец, schwer входит в состав других частей речи и устойчивых сочетаний, которые вам наверняка знакомы: schwerfallen (даваться с трудом), schwerwiegend (серьёзный, весомый), Schwerpunkt (суть, основная задача). Ни одно из них невозможно образовать от schwierig. Так что вы точно не перепутаете!
Подсказка: если вместо schwer можно подставить ernst или heftig, значит, выбор сделан правильно.

Schwierig — имеет более узкое и более конкретное значение по сравнению со schwer. Оно описывает то, что требует особых навыков, мастерства, терпения или смекалки. Сюда относятся задачи, ситуации, переговоры, люди, с которыми непросто найти общий язык.
Обратите внимание: именно от schwierig образовано существительное die Schwierigkeit — «трудность, затруднение». Когда вы говорите о конкретной проблеме или препятствии, которое нужно преодолеть, вы, скорее всего, подразумеваете schwierig.

• Eine schwierige Aufgabe, Frage, Entscheidung, Angelegenheit. Сложная задача, вопрос, решение, дело.
• Ein schwieriger Kunde, ein schwieriger Charakter. Сложный клиент (не знаю, как к нему подступиться), сложный характер.
• Schwierige Verhandlungen — eine schwierige Operation — ein schwieriges Kapitel. Трудные переговоры — сложная операция — трудная глава (в книге или в жизни).
• Ich befinde mich in einer schwierigen Lage. Я нахожусь в непростой ситуации.
• Die letzten zwei Monate waren eine schwierige Zeit. Последние два месяца были сложным временем.

Подсказка: если вместо schwierig можно подставить nicht einfach (непростой), kompliziert (сложный) или problematisch (проблематичный) — вы на верном пути.

Бывают случаи, где подходят оба прилагательных, но все зависит от контекста и замысла говорящего. Проверьте себя:
Das ist eine schwere Aufgabe. Это задание, которое требует физических или умственных усилий.
Das ist eine schwierige Aufgabe. Это задание, которое трудно решить. Нужна смекалка, опыт или нестандартный подход. Вы перебрали множество вариантов и не сразу нашли решение.

То же самое c Arbeit, Aufgabe, Frage, Entscheidung.